少し邪道だが、apply_filters( 'the_content', $sContent, $oPost ) という具合に、2つ目のパラメーターで渡してあげる。コアはこのフィルターに関しては2つ目以降のパラメーターはサポートしていない。これ、もしコアの仕様変更で2つ目のパラメーターに何か別の値が渡されるとかいうことになると、問題。
なので、一応コールバックの中で、タイプチェックとして instanceof WP_Post でチェックしてる。これも完全ではないけど、まあ許容範囲かなと。
Postscripts
もう一つ対処法として、各投稿の出力を REST 側で呼び出す直前に、
$GLOBALS[ 'post' ]の値を控えておいて、目的のポストオブジェクトを代入して、呼び出しが終わったら、控えておいたやつを戻してあげる。控えておくといってもnullだけどね、十中八九。ただ、何らかのケースで値が入ることを想定しての処理。